Dieses Buch beruht auf 40 lahren intensiven Studiums der Differentialglei- chungen, sowohl yom theoretischen als auch yom praktischen Gesichtspunkt aus, eines Studiums, das mit meiner Tatigkeit im Rechen-Institut M. Picones in Rom begann, sodann fortgesetzt wurde in der Gruppe flir Industriemathema- tik der Luftfahrt-Forschungsanstalt in Braunschweig, und endlich mit meinen Vorlesungen, hauptsachlich an der Universitat Innsbruck, abgeschlossen wurde. Die Zeit der Weltraumfliige stellte hier neue Aufgaben der Bahnberechnung von Satelliten, deren Bearbeitung theoretisch eine geschlossene Formel zur Losung des n-Korper-Problems, praktisch eine neue Methode zur Berechnung von reguJaren Differentialgleichungssystemen zeitigte, die mit den besten bekannten Losungsmethoden erfolgreich in Konkurrenz treten konnte, was vor aHem meinen Mitarbeitern H. Knapp und G. Wanner zu danken war. Die Vorlesung iiber Differentialgleichungen habe ich seit 1947 in regelmaBi- gen Abstanden an der Universitat Innsbruck gehalten, bei jeder Wiederholung neu bearbeitet und durch Seminararbeiten vervollstandigt; auch in meiner flir Physik-Studenten besonders gehaltenen Vorlesung iiber Die mathemati- schen Methoden der Physik habe ich in gekiirzter Form immer die Differen- tialgleichungen eingeschlossen. In der vorliegenden Fassung wurde vor allem das zweite Kapitel iiber Diffe- rentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten, also speziell der hypergeome- trischen, Besselschen und Kummerschen Differentialgleichungen' neu gefaBt und einem neuen Ordnungsprinzip, der Invariante, unterworfen. Damit ge- lingt es, jede vorgelegte Differentialgleichung rasch einzuordnen und auf eine dieser Standardformen zu transformieren. Diese Transformationsformeln wur- den neu entwickelt und werden hier zum ersten Mal veroffentlicht. Fiir alle Satze und Entwicklungen werden strenge Beweise geboten; z. B.